Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=a（S_n-a_n+1）（a为常数，a≠0，a≠1）
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

a

2 n

+Sn•an，若数列{b_n}为等比数列，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用数列{a_n}的通项a_n与前n项和S_n之间的关系：n=1时，a₁=s₁；n≥2时，a_n=s_n-s_n-1，即可求出数列{a_n}的通项a_n．
（Ⅱ）将通项a_n代入已知条件S_n=a（S_n-a_n+1）即可求出S_n的表达式，将a_n与S_n代入b_n的表达式，据已知条件数列{b_n}为等比数列，利用

b

2 2

=b₁b₃即可求出a的值．

解答：（本题满分14分）
解：（Ⅰ）当n=1时，S₁=a（S₁-a₁+1），∴a₁=a，…（2分）
当n≥2时，S_n=a（S_n-a_n+1），S_n-1=a（S_n-1-a_n-1+1）
两式相减得：a_n=a•a_n-1，

an

an-1

=a（a≠0，n≥2），即{a_n}是等比数列  …（5分）
∴an=a•an-1=an…（7分）
（Ⅱ）由a≠1得bn=(an)2+

a(an-1)

a-1

an=

(2a-1)a2n-aan

a-1

，…（10分）
若{b_n}为等比数列，则有b22=b1b3，而b1=2a2，b2=a3(2a+1)，b3=a4(2a2+a+1)
故[a³（2a+1）]²=2a²•a⁴（2a²+a+1），
解得a=

1

2

，…（12分）
再将a=

1

2

代入b_n得bn=(

1

2

)n即数列{b_n}是等比数列，
所以a=

1

2

．                                                   …（14分）

点评：此题考查了数列{a_n}的通项公式a_n与前n项和S_n之间的关系，及等比数列的通项公式．较好地检验了学生应用基础知识解决问题的能力．