Question

已知曲线C：y²-x²=2，将曲线C绕坐标原点顺时针旋转30°得到曲线C′．
（Ⅰ）求曲线C′的方程；
（Ⅱ）求曲线C′的焦点坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出旋转变换矩阵M，再推出任意一点在M的作用下后的点，代入即可求出曲线方程；
（Ⅱ）先求出曲线y²-x²=2的焦点坐标，然后将焦点坐标在旋转变换矩阵的作用下后的点的坐标求出来即可．

解答：解：（Ⅰ）由题设条件知，旋转变换矩阵为M=

cos(-30°) -sin(-30°) sin(-30°) cos(-30°)

=

3 2 1 2 - 1 2 3 2

，
在曲线C：y²-x²=2上去一点P（x，y），在变换矩阵M的作用下，变化到P′（x^′，y^′），
则T_M：[

x y

]→

x′   y′

=

3 2 1 2 - 1 2 3 2

•[

x y

]=

3 2 x+ 1 2 y   - 1 2 x+ 3 2 y

，
即有

x′= 3 2 x+ 1 2 y y′=- 1 2 x+ 3 2 y

，
解得：

x= 3 2 x′-  1 2 y′ y= 1 2 x′+ 3 2 y′

，代入曲线C的方程并化简得：
x′²-2

3

x^′y^′-y′²=4．
∴曲线C^′为：x²-2

3

xy-y²=4．
（Ⅱ）因为曲线C的焦点坐标为（0，2）（0，-2），
由坐标变换公式解得焦点坐标为：（1，3），（-1，-3）．

点评：本题主要考查了旋转变换，以及简单曲线曲线的焦点坐标等有关知识，同时考查了计算能力．解决问题的关键在于求出旋转矩阵．