Question

已知f(x)=lnx，（m＜0），直线l与函数f(x)、g(x)的图像都相切，且与函数f(x)的图像的切点的横坐标为1。
（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h(x)= f(x+1)-g′(x)，求函数h(x)的最大值；
（Ⅲ）求证：对任意正整数n，总有。

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意知，直线的斜率，
∵，故直线与函数f（x）的图像的切点坐标是(1，0)，
∴直线的方程为y=x-1，
又∵直线与的图像也相切，
∴由，得，
令，
∵m＜0，
∴解得m=-2。
（Ⅱ），
∴，
∴，
令＞0，解得：-1＜x＜0；
令＜0，解得：x＜-1（舍去）或x＞0，
∴h（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
∴当x=0时，h（x）取得最大值h（0）=2。
（Ⅲ）∵由（II）知：当x＞-1时，，即，
∴当x＞-1时，，当且仅当x=0时等号成立，
∵，故，
∴。