Question

如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD的中点，F为AD边上一点，且不与点D重合，AF=a，
（1）判断四边形BCEF的面积是否存在最大或者最小值，若存在，求出来，若不存在，说明理由
（2）若∠BFE=∠FBC，求tan∠AFB 的值
（3）在（2）的条件下，若将“E是CD的中点”改为“CE=k•DE”，其中k为正整数，其他条件不变，请直接写出tan∠AFB的值（用k的代数式表示）

Answer 1

分析：（1）由于S_{四边形BCEF}=S正_方形ABCD-S△_ABF-S_△DEF，用含a的代数式表示S_{四边形BCEF}=12-a，而0≤a＜4，即S_{四边形BCEF}存在最大值12，S_{四边形BCEF}不存在最小值；
（2）延长BC，FE交于点P，构造等腰三角形PEB，利用正方形的性质和中点的性质求得PB的长后，由勾股定理求得a的值．则可求出AB，AF的值．再用tan∠AFB=

AB

AF

；求得tan∠AFB的值；
（3）用（2）的方法求得tan∠AFB的值．

解答：解：（1）如图，连接BE，
S_{四边形BCEF}=S正_方形ABCD-S△_ABF-S_△DEF=4²-

1

2

×4×a-

1

2

×2×（4-a）=12-a，
∵F为AD边上一点，且不与点D重合，
∴0≤a＜4，
∴当点F与点A重合时，a=0，S_{四边形BCEF}存在最大值12．
S_{四边形BCEF}不存在最小值．
（2）如图，延长BC，FE交于点P，
∵正方形ABCD，
∴AD∥BC．
∴△DEF∽△CEP．
∵E为CD的中点，
∴

EF

EP

=

DE

CE

=1，PF=2EF．
∵∠BFE=∠FBC，
∴PB=PF．
∵AF=a，
∴PC=DF=4-a，PB=PF=8-a，
EF=

PF

2

=

8-a

2

．
∵Rt△DEF中，EF²=DE²+DF²，
∴(

8-a

2

)2=2²+（4-a）²整理，得3a²-16a+16=0，
解得，a₁=

4

3

，a₂=4；
∵F点不与D点重合，
∴a=4不成立，a=

4

3

，tan∠AFB=

AB

AF

=3．
（3）延长BC，FE交于点P，
∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴△DEF∽△CEP．
∵E为CD的中点，
∴

EF

EP

=

DE

CE

=1，

EF

EP

=

DE

CE

=

1

k

，PF=（k+1）EF．
∵∠BFE=∠FBC，
∴PB=PF，
∵AF=a，
∴PC=DF=4-a，PB=PF=8-a．
EF=

PF

k+1

=

8-a

k+1

．
∵Rt△DEF中，EF²=DE²+DF²，
∴（

8-a

k+1

）²=（

4

k+1

）²+（4-a）²整理，

12-a

k+1

×

4-a

k+1

=（4-a）²，
（k+1）²=

12-a

4-a

，
解得a=

4

2k+1

，
∴tan∠AFB=

AB

AF

=2k+1（k为正数）．

点评：本题利用了正方形的性质，中点的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，勾股定理求解．