Question

设数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+1（n≥2），且a₁=1，b_n=log₂（a_n+1）．
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列；
（2）求数列{

1

bnbn+1

}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可得a_n+1=2（a_n-1+1），即可证明
（2）由（1）可求a_n，进而可求b_n，代入利用裂项求和方法即可求解

解答：（1）证明：∵a_n=2a_n-1+1（n≥2）
∴a_n+1=2（a_n-1+1），
∴数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列
（2）解由（1）可知，an+1=2•2n-1=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ-1，b_n=log₂（a_n+1）=n
由于

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴Sn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

点评：本题主要考查了等比数列的判断与证明，等比数列的通项公式及裂项求和方法的应用．