Question

如图，已知AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，F为BC的中点，若AB=AC=AD=

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CE．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BCE．

Answer 1

证明：（Ⅰ）取BE的中点G，连接GF，GD．


∵F是BC的中点，
则GF为△BCE的中位线．
∴GF∥EC，GF=

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CE．
∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，
∴GF∥EC∥AD．
又∵AD=

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CE，
∴GF=AD．
∴四边形GFAD为平行四边形．
∴AF∥DG．
∵DG?平面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥平面BDE．
（Ⅱ）∵AB=AC，F为BC的中点，
∴AF⊥BC．
∵EC∥GF，EC⊥平面ABC，∴GF⊥平面ABC．
又AF?平面ABC，
∴GF⊥AF．
∵GF∩BC=F，
∴AF⊥平面BCE．
∵AF∥DG，
∴DG⊥平面BCE．
又DG?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCE．