Question

已知函数f（x）=log₂x-2log₂（x+c），其中c＞0．则“对于任意的x∈（0，+∞）有f（x）≤1恒成立”的充要条件是

 

．

Answer 1

分析：利用对数的对数法则，结合充要条件的定义进行求解．

解答：解：∵f（x）=log₂x-2log₂（x+c），
∴要使函数有意义，则

x＞0 x+c＞0

，即x＞0，
又由f（x）=log₂x-2log₂（x+c）≤1，
得log₂

x

2

≤log₂（x+c）²，
即

x

2

≤（x+c）²，在∈（0，+∞）恒成立，
即x+c≥

x 2

=

x

2

，
∴c≥-x+

x

2

=-（

x

-

1

2 2

）²+

1

8

，
设g（x）=-（

x

-

1

2 2

）²+

1

8

，
∵x＞0，
∴g（x）=-（

x

-

1

2 2

）²+

1

8

≤

1

8

，
∴c≥

1

8

，
∴“对于任意的x∈（0，+∞）有f（x）≤1恒成立”的充要条件是c≥

1

8

．
故答案为：c≥

1

8

．

点评：本题主要考查充要条件的应用，利用对数的运算性质，结合二次函数的图象和性质是解决本题的关键．