Question

已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数；请解答以下问题：
（1）求闭函数y=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定y=-x³是R上的减函数，可得a+b=0，又b＞a，即可得出结论；
（2）当在上单调递减，在上单调递增，可得结论；
（3）易知是（0，+∞）上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为[a，b]，则，利用条件，可得结论．
解答：解：（1）先证y=-x³符合条件①：对于任意x₁，x₂∈R，
且x₁＜x₂，有==，
∴y₁＞y₂，故y=-x³是R上的减函数．
由题可得：则（a+b）=-（a³+b³），∴（a+b）[a²-ab+b²+1]=0
而，∴a+b=0，
又b＞a，∴a=-1，b=1所求区间为[-1，1]
（2）当在上单调递减，在上单调递增，
所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数
（3）易知是（0，+∞）上的增函数，符合条件①；
设函数符合条件②的区间为[a，b]，则；
故a，b是的两个不等根，即方程组为：有两个不等非负实根；
设x₁，x₂为方程x²-（2k+1）x+k²=0的二根，
则，
解得：，∴k的取值范围．
点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．