Question

在公差不为零的等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中,已知a₁=b₁=1,a₂=b₂,a₈=b₃.

(1)求数列{a_n}的公差和数列{b_n}的公比;

(2)是否存在常数a、b,使得对于一切正整数n,都有a_n=log_ab_n+b成立?若存在,求出a和b;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解：(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,则或(舍去).

(2)假设存在a、b,使得a_n=log_ab_n+b成立(n∈N^*),即1+(n-1)×5=log_a6^n-1+b,

∴5n-4=(n-1)log_a6+b,

    即(5-log_a6)n-(4+b-log_a6)=0.

    上式对一切正整数n都成立,所以

    即存在常数a=,b=1.

    使得对于一切正整数n,都有a_n=log_ab_n+b成立.