题目内容

设函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0．若f(x)≤|f(
π
3
)|对一切x∈R恒成立，则
①f(
5π
6
)=0；
②|f(
4π
21
)|＞|f(
π
2
)|；
③存在a，b使f（x）是奇函数；  
④f（x）的单调增区间是[2kπ+
π
3
，2kπ+
4π
3
]，k∈Z；
⑤经过点（a，b）的所有直线与函数f（x）的图象都相交．
以上结论正确的是
①②⑤
①②⑤
．
分析：先根据已知条件求出函数f（x）的解析式，进而即可判断出答案．
解答：解：由题意函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0．若f(x)≤|f(
π
3
)|对一切x∈R恒成立，
可知：当x=
π
3
时，函数f（x）取得最值|f(
π
3
)|，即|
3
2
a+
1
2
b|=
a2+b2
，化为a=
3
b．
∴f（x）=
3
bsinx+bcosx=2b(
3
2
sinx+
1
2
cosx)=2b(sinxcos
π
6
+cosxsin
π
6
)=2bsin(x+
π
6
)，
∴f(x)=2bsin(x+
π
6
)．（b≠0）．
①由上面可知：f(
5π
6
)=2bsin(
5π
6
+
π
6
)=2bsinπ=0，因此正确；
②∵|f(
4π
21
)|=|2bsin(
4π
21
+
π
6
)|=2|b| |sin
15
42
π|，|f(
π
2
)|=|2bsin(
π
2
+
π
6
)|=2|b| |sin
14π
42
|，
又|sin
15π
42
|＞|sin
14π
42
|，b≠0．
∴|f(
4π
21
)|＞|f(
π
2
)|，故正确．
③∵f（0）=b≠0，故不存在实数a、b使得函数f（x0为奇函数，因此不正确；
④其单调区间与b的正负有关系，因此分别讨论，故④不正确；
⑤由f(x)=2bsin(x+
π
6
)(b≠0)，可知函数f（x）的值域为[-2|b|，2|b|]，因此经过点（a，b）的所有直线与函数f（x）的图象都相交，正确．
综上可知：只有①②⑤正确．
故答案为①②⑤．
点评：熟练掌握三角函数的图象与性质是解题的关键．
练习册系列答案
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设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足f（an+1）=
1f(-2-an)
（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．
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1
f(-2-an)
(n∈N*)．
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(1+logf(1)x)对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．
设函数f（x）=
3x-1
x+1
．
（1）已知s=-t+
1
2
（t＞1），求证：f（
t-1
t
）=
s+1
s
；
（2）证明：存在函数t=φ（s）=as+b（s＞0），满足f（
s+1
s
）=
t-1
t
；
（3）设x1=
11
17
，xn+1=f（xn），n=1，2，…．问：数列{
1
xn-1
}是否为等差数列？若是，求出数列{xn}中最大项的值；若不是，请说明理由．
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