Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=AA₁，D，E，F分别为AB₁，CC₁，BC的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B₁F⊥平面AEF；
（3）求二面角B₁-AE-F的大小．

Answer 1

分析：（1）取AA₁，的中点G，连接DG，EG，根据三角形中位线定理及面面平行的第二判定定理可得平面GDE∥平面ABC，再由面面平行的性质得到DE∥平面ABC；
（2）根据等腰三角形三线合一，可得AF⊥BC，由面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理可得B₁F⊥AF；由勾股定理可得B₁F⊥EF，最后由线面垂直的判定定理得到B₁F⊥平面AEF．
（3）以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA₁所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，分别求出平面B₁AE和平面AEF的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答：证明：（1）取AA₁，的中点G，连接DG，EG
∵D，E为AB₁，CC₁的中点，
则DG∥AB，EG∥AC，
又∵DG，EG?平面GDE，DG∩EG=G，AB，AC?平面ABC
∴平面GDE∥平面ABC，
又∵DG?平面GDE
∴DG∥平面ABC．
（2）连结AF，则AF⊥平面BCC₁B₁．
∵AB=AC，F为BC的中点
∴AF⊥BC
∵棱柱ABC-A₁B₁C₁为直棱柱
∴平面ABC⊥平面BCC₁B₁．
又∵平面ABC∩平面BCC₁B₁=BC
∴AF⊥平面BCC₁B₁，
又∵B₁F?平面BCC₁B₁，
∴B₁F⊥AF，
在△B₁FE中，B₁F=

6

2

AB，B₁=

3

2

AB，EF=

3

2

AB
由勾股定理易得B₁F⊥EF，
又∵AF，EF?平面AEF，AF∩EF=F
∴B₁F⊥平面AEF．
（3）以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA₁所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，
则

B1F

=（-

1

2

，

1

2

，-1）为平面AEF的法向量．
又

AB1

=（1，0，1），

AE

=（0，1，

1

2

），
设平面B₁AE的法向量为

n

=（x，y，z），则

n • AB1 =0 n • AE  =0

，即

x+z=0 y+ 1 2 z=0

取z=-1，则

n

=（1，

1

2

，-1），从而
cosθ=

6

6

，
即二面角B₁-AE-F是arccos

6

6

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，二面角的求法，熟练掌握空间线面关系判定的方法和步骤是解答（1）（2）的关键．建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答（3）的关键．