Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0；
（1）若直线l过P（-2，2）且与圆C相切，求直线l的方程．
（2）是否存在斜率为1直线l′，使直线l′被圆C截得弦AB，以AB为直径的圆经过原点O．若存在，求出直线l′的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）假设切线方程，利用直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于半径解出k值，从而得到直线l的方程；
（2）假设所求直线存在，将条件以AB为直径的圆经过原点O，转化为OA⊥OB．通过联立方程可求．

解答：解：（1）圆C可化为：（x-1）²+（y+2）²=9?圆心：C（1，-2）；半径：r=3
①当l斜率不存在时：l：x=-2，满足题意（2分）
②当l斜率存在时，设斜率为k，则：l：y-2=k（x+2）?kx-y+2k+2=0
则：d=

|k+2+2k+2|

k2+1

=3?k=-

7

24

故：l：7x+24y-34=0（3分）
综上之：直线l的方程：x=-2或7x+24y-34=0（1分）
（2）设直线l的方程为y=x+b，代入圆的方程x²+（x+b）²-2x+4（x+b）-4=0．即2x²+（2b+2）x+b²+4b-4=0．（*）以AB为直径的圆过原点O，则OA⊥OB．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（x₁+b）（x₂+b）=0．
∴2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0．
由（*）式得x₁+x₂=-b-1，x₁x₂=

b2+4b-4

2

∴b²+4b-4+b•（-b-1）+b²=0．
即b²+3b-4=0，∴b=-4或b=1．
将b=-4或b=1代入*方程，对应的△＞0．
故存在直线l：x-y-4=0或x-y+1=0．

点评：本题考查用待定系数法求圆的方程以及直线方程的方法，体现了分类讨论的数学思想．本题隐藏着OA⊥OB．OA这一条件，由OA⊥OB．OA得到 x₁x₂+y₁y₂=0，是本题的“题眼”所在，由此根据这一重要信息点，采用“设而不求”法为解题带来了快捷效应．除此之外，还应对求出的 值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点A、B存在．