Question

（14分）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l：．

       ⑴ 求椭圆的标准方程；

⑵ 设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值．

Answer 1

 解析：⑴∵椭圆C的短轴长为2，椭圆C的一条准线为l：，

       ∴不妨设椭圆C的方程为．（2分）

        ∴，（ 4分）      即．（5分）

        ∴椭圆C的方程为．（6分）

    ⑵ F（1，0），右准线为l：， 设，

     则直线FN的斜率为，直线ON的斜率为，（8分）

     ∵FN⊥OM，∴直线OM的斜率为，（9分）

    ∴直线OM的方程为：，点M的坐标为．（11分）

    ∴直线MN的斜率为．（12分）

    ∵MN⊥ON，∴，

    ∴，

    ∴，即．（13分）

    ∴为定值．（14分）