Question

设f（x）=ax³-3ax²+b在区间[-1，2]上的最大值为3，最小值为-21，且a＞0，则

1. A.
   a=6，b=3
2. B.
   a=3，b=6
3. C.
   a=3，b=3
4. D.
   a=2，b=-3

Answer 1

A
分析：对f（x）进行求导，令f′（x）=0，求出极值点，利用导数研究函数的最值问题，同时要验证端点问题，解出a，b；
解答：∵f（x）=ax³-3ax²+b，x∈[-1，2]，
∴f′（x）=3ax²-6ax=3ax（x-2），a＞0，
令f′（x）=0，得x=2或0
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当-1＜x＜0或x＞2，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
f（x）在x=0处取极大值，也是在x∈[-1，2]上的最大值，f（x）_max=f（0）=3，可得b=3；
f（x）在x=2处取极小值，最小值可能等于f（2）或者f（-1）；
若f（x）_min═f（2）=8a-12a+3=-21，解得a=6；
若f（x）_min═f（-1）=-a-3a+3=-21，解得a=6；
∴a=6，b=3，
故选A；
点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，此题逆向思维，已知最大值和最小值确定f（x）的解析式；