Question

10．已知点B（0，2），C（2，4）．向量$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OB}$和$\overrightarrow{OC}$方向上的投影分别是3和$\frac{7}{5}$$\sqrt{5}$则点P的坐标为（1，3）．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{OP}$=（x，y），由向量$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OB}$和$\overrightarrow{OC}$方向上的投影分别是3和$\frac{7}{5}$$\sqrt{5}$，可得$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{2y}{2}$=3，$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OC}|}$=$\frac{2x+4y}{\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{7\sqrt{5}}{5}$，联立解出即可．

解答 解：设$\overrightarrow{OP}$=（x，y），
∵向量$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OB}$和$\overrightarrow{OC}$方向上的投影分别是3和$\frac{7}{5}$$\sqrt{5}$，
∴$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{2y}{2}$=3，
$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OC}|}$=$\frac{2x+4y}{\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{7\sqrt{5}}{5}$，
联立解得y=3，x=1．
则点P的坐标为（1，3）．
故答案为：（1，3）．

点评 本题考查了向量投影的计算公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．