Question

在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边长，已知b2-c2=a2-

2

3

ac．
（1）求cosB及tan

A+C

2

的值；
（2）若b=2

2

，△ABC的面积为

2

，求sinA+sinC的值．

Answer 1

分析：（1）根据题中等式，算出cosB=

1

3

，利用同角三角函数的关系算出sinB=

2 2

3

．再由诱导公式和二倍角三角函数公式，即可算出tan

A+C

2

的值；
（2）利用正弦定理的面积公式，结合题意算出ac=3．再由b=2

2

结合已知等式算出a+c=4，利用正弦定理计算即可得到sinA+sinC的值．

解答：解：（1）由b2-c2=a2-

2

3

ac，得cosB=

a2+c2．-b2

2ac

=

1

3

．…（2分）
∵0＜B＜π
∴sinB=

1-cos2B

=

2 2

3

．…（4分）
因此，tan

A+C

2

=tan

π-B

2

=

sin( π 2 - B 2 )

cos( π 2 - B 2 )

=

cos B 2

sin B 2

=

2cos2 B 2

2sin B 2 cos B 2

=

1+cosB

sinB

=

2

…（7分）
（2）由

1

2

acsinB=

2

，得

1

2

ac×

2 2

3

=

2

，可得ac=3，…（9分）
∵b2-c2=a2-

2

3

ac，
∴(a+c)2=b2+

8

3

ac=16，得a+c=4…（11分）
根据正弦定理，得sinA+sinC=

a+c

b

×sinB=

4

3

．…（14分）

点评：本题给出三角形边之间的关系式，求三角函数的值．着重考查了同角三角函数的关系、诱导公式、二倍角公式和正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．