Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足asinA-csinC=（a-b）sinB
（1）求角C的大小；
（2）求cosA+cosB的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过正弦定理化简已知表达式，然后利用余弦定理求出C的余弦值，得到C的值．
（2）通过C的值，得到A+B的值，利用两角和的余弦函数求出cosA+cosB=sin（A+

π

6

）．根据A+

π

6

的范围，求出sin（A+

π

6

）的范围，得到结果．

解答：解：（1）由已知，根据正弦定理，asinA-csinC=（a-b）sinB
得，a²-c²=（a-b）b，即a²+b²-c²=ab．
由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

．
又C∈（0，π）．所以C=

π

3

．
（2）由（1）知A+B=

2π

3

，则0＜A＜

2π

3

．
cosA+cosB=cosA+cos(

2π

3

-A)
=cosA+cos

2π

3

cosA+sin

2π

3

sinA
=

1

2

cosA+

3

2

sinA
=sin（A+

π

6

）．
由0＜A＜

2π

3

可知，

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
所以

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1．
所以cosA+cosB的取值范围（

1

2

，1]．

点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角函数的值的求法，以及两角和的余弦函数的应用，考查计算能力．