题目内容

设F1，F2是双曲线x2-
y2
2
=1的左右焦点．若P在双曲线上，且
PF1
•
PF2
=1，则|
PF1
+
PF2
|的长为（　　）
分析：根据题意，算出双曲线焦点坐标为F1（-
3
，0），F2（
3
，0）．由
PF1
•
PF2
=1利用数量积的坐标运算公式，算出x2+y2=4．根据O为F1F2的中点得
PF1
+
PF2
=2
PO
，再利用向量模的公式加以计算，可得答案．
解答：解：∵双曲线x2-
y2
2
=1中，a2=1，b2=2，
∴c=
a2+b2
=
3
，得双曲线焦点坐标为F1（-
3
，0），F2（
3
，0）．
设P（x，y），可得
PF1
=（x+
3
，y），
PF2
=（x-
3
，y），
∴
PF1
•
PF2
=（x+
3
）（x-
3
）+y2=（x2+y2）-3，
∵
PF1
•
PF2
=1，∴（x2+y2）-3=1，解得x2+y2=4．
∵O为F1F2的中点，∴
PF1
+
PF2
=2
PO
，
可得|
PF1
+
PF2
|=2|
PO
|=2
x2+y2
=4
故选：C
点评：本题给出双曲线上的点P满足的向量等式，求
PF1
+
PF2
的模．着重考查了向量的数量积公式、向量模的公式和双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设F1，F2是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，点P在双曲线上，若
PF1
•
PF2
=0 且|
PF1
||
PF2
|=2ac（c=
a2+b2
），则双曲线的离心率为（　　）
A、
1+
5
2
B、
1+
3
2
C、2
D、
1+
2
2
（2010•宝山区模拟）双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1上一点(2，
3
)到左，右两焦点距离的差为2．
（1）求双曲线的方程；
（2）设F1，F2是双曲线的左右焦点，P是双曲线上的点，若|PF1|+|PF2|=6，求△PF1F2的面积；
（3）过（-2，0）作直线l交双曲线C于A，B两点，若
OP
=
OA
+
OB
，是否存在这样的直线l，使OAPB为矩形？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．
设F1、F2是双曲线x2-
y224
=1的两个焦点，是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于
24
24
．
（2013•许昌三模）设F1，F2是双曲线
x2
3
-y2=1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，
PF1
•
PF2
的值为（　　）
设F1、F2是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0（O为坐标原点），且tan∠PF2F1=2，则双曲线的离心率为（　　）

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