题目内容

已知函数f(x)=x+
1x
．
（Ⅰ）求证函数f（x）为奇函数；
（Ⅱ）用定义证明：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．
分析：（Ⅰ）利用奇函数的定义，考查f（-x）=-f（x）在定义域内是否恒成立，若是则为奇函数，否则不是奇函数．
（Ⅱ）利用增函数的定义，证明对于（1，+∞）内任意的x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）即可．
解答：解：（Ⅰ）证明：函数的定义域是（-∞．0）∪（0，+∞）
由f(x)=x+
1
x
，
可得f(-x)=-x+
1
-x
=-(x+
1
x
)=-f(x)，
所以函数f（x）为奇函数．                    
（Ⅱ）任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=x1+
1
x1
-x2-
1
x2
=(x1-x2)+
x2-x1
x1x2
=(x1-x2)
x1x2-1
x1x2
，
由x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，可知x1＜x2，x1x2-1＞0，
所以f（x1）＜f（x2）．
即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数精英家教网
点评：本题考查函数奇偶性的判断、单调性的证明．严格按照定义解决．利用定义证明单调性是采用的步骤是：取值-作差-变形定号-下结论
练习册系列答案
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已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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