题目内容
已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,－2),且圆心在直线l:x－y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
活动:学生阅读题目,分析条件,教师指导学生考虑问题的思路.
(1)利用圆的标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2,只要能构造三个方程求出a、b、r便可.
(2)确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.
圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),由于圆心C与A,B两点的距离相等,所以圆心C在线段AB的垂直平分线m上,又圆心C在直线l上,因此圆心C是直线l与直线m的交点,半径长等于|CA|或|CB|.
解法一:设所求的圆的标准方程为(x－a)2+(y－b)2=r2,将点A(1,1)和B(2,－2)代入得
又圆心在l:x－y+1=0上,所以a-b+1=0.联立方程组
解得a=-3,b=-2,r=5.
所以所求的圆的标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25.
解法二:因为A(1,1)和B(2,－2),所以线段AB的中点坐标为(
,
),直线AB的斜率为kAB=
=－3,故线段AB的垂直平分线方程为y+
=
(x
),即x－3y－3=0.由
解得
因此圆心C的坐标为(-3,-2),半径r=|AC|=
=5,所以所求的圆的方程为(x+3)2+(y+2)2=25.
点评:比较解法一与解法二,不难看出解法二直接明了,思路明确,易于理解,而解法一则笼统,较繁.
圆的几何性质的运用使圆的方程的求解运算简单、方便、快捷,这也是解析几何中以形助数的精髓,在以后的解题中要注意应用.
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