Question

过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于、两点，过点作抛物线的切线交轴于点，过点作切线的垂线交轴于点。

（1） 若，求此抛物线与线段以及线段所围成的封闭图形的面积。

（2） 求证：；

 

Answer 1

【答案】

(1) 。（2）利用抛物线定义证明

【解析】

试题分析：(1)    1分

从而直线的方程为，与抛物线方程联立得   2分

，即   3分

弓形的面积为 ，   4分

三角形的面积为 …5分

所以所求的封闭图形的面积为 。   6分

（2）证明：如图，焦点,设   7分

由，知，，   8分

直线的方程为：，   9分

令，得，点，   10分

则。由抛物线定义知，即，   11分

直线的方程为 ，令得到   …12分

所以，故。   13分

考点：本题考查了直线与抛物线的位置关系

点评：解答抛物线综合题时，应根据其几何特征熟练的转化为数量关系（如方程、函数），再结合代数方法解答，这就要学生在解决问题时要充分利用数形结合、设而不求、弦长公式及韦达定理综合思考，重视对称思想、函数与方程思想、等价转化思想的应用