Question

7．设函数 f （x）=（x+a）ⁿ，其中$n=6{∫}_{0}^{\frac{π}{2}}cosxdx，\frac{f′（0）}{f（0）}=-3$，则 f （x）的展开式中的x⁴系数为60．

Answer 1

分析 求定积分得到n值，再由$\frac{f′（0）}{f（0）}=-3$求得a，写出二项展开式的通项，由x的指数为4求得r，则答案可求．

解答 解：由$n=6{∫}_{0}^{\frac{π}{2}}cosxdx，\frac{f′（0）}{f（0）}=-3$，得
$n=6sinx{|}_{0}^{\frac{π}{2}}=6$，$\frac{6{a}^{5}}{{a}^{6}}=-3$，a=-2．
∴f （x）=（x-2）⁶，
由${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}{x}^{6-r}（-2）^{r}$，令6-r=4，得r=2．
∴f （x）的展开式中的x⁴系数为$（-2）^{2}•{C}_{6}^{2}=60$．
故答案为：60．

点评 本题考查定积分，考查了基本初等函数的导数公式，考查了二项式的展开式，是基础题．