Question

3．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点$F（\sqrt{3}，0）$，点$M（-\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，过原点O作直线l的垂线，垂足为P，如果△OAB的面积为$\frac{λ|AB|+4}{2|OP|}$（λ为实数），求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过右焦点$F（\sqrt{3}，0）$可知：c=$\sqrt{3}$，左焦点F′（-$\sqrt{3}$，0），利用2a=|MF′|+|MF|可得a=2，进而可得结论；
（Ⅱ）通过S_△ABC=$\frac{λ|AB|+4}{2|OP|}$，可得λ=|OP|²-$\frac{4}{|AB|}$，对直线l的斜率存在与否进行讨论．当直线l的斜率不存在时，易得λ=-1；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程并与椭圆C方程联立，利用韦达定理、两点间距离公式、点到直线的距离公式计算亦得λ=-1．

解答 解：（Ⅰ）由题意知：c=$\sqrt{3}$，左焦点F′（-$\sqrt{3}$，0）．
根据椭圆的定义得：2a=|MF′|+|MF|=$\sqrt{（-\sqrt{3}-\sqrt{3}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$+$\frac{1}{2}$，
解得a=2，∴b²=a²-c²=4-3=1，
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）由题意知，S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|•|OP|=$\frac{λ|AB|+4}{2|OP|}$，
整理得：λ=|OP|²-$\frac{4}{|AB|}$．
①当直线l的斜率不存在时，l的方程为：x=$\sqrt{3}$，
此时|AB|=1，|OP|=$\sqrt{3}$，
∴λ=|OP|²-$\frac{4}{|AB|}$=-1；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x-$\sqrt{3}$），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x-\sqrt{3}）}\end{array}\right.$，消去y整理得：（1+4k²）x²-8$\sqrt{3}$k²x+12k²-4=0，
显然△＞0，则x₁+x₂=-$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∵y₁=k（x₁-$\sqrt{3}$），y₂=k（x₂-$\sqrt{3}$），
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=4•$\frac{1+{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
∴|OP|²=（$\frac{|-\sqrt{3}k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$）²=$\frac{3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
此时，λ=$\frac{3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$-$\frac{1+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=-1；
综上所述，λ为定值-1．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．