Question

【题目】已知椭圆C1： +y2=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
（1）求椭圆C2的方程；
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上， =2 ，求直线AB的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：椭圆 的长轴长为4，离心率为

∵椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率

∴椭圆C2的焦点在y轴上，2b=4，为

∴b=2，a=4

∴椭圆C2的方程为 ；

（2）解：设A，B的坐标分别为（xA，yA），（xB，yB），

∵ =2

∴O，A，B三点共线，且点A，B不在y轴上

∴设AB的方程为y=kx

将y=kx代入 ，消元可得（1+4k2）x2=4，∴

将y=kx代入 ，消元可得（4+k2）x2=16，∴

∵ =2 ，∴ =4 ，

∴ ，解得k=±1，

∴AB的方程为y=±x

【解析】（1）求出椭圆 的长轴长，离心率，根据椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率，即可确定椭圆C2的方程；（2）设A，B的坐标分别为（xA ， yA），（xB ， yB），根据 =2 ，可设AB的方程为y=kx，分别与椭圆C1和C2联立，求出A，B的横坐标，利用 =2 ，即可求得直线AB的方程．
【考点精析】利用椭圆的标准方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．