Question

已知离心率为的椭圆上的点到左焦点F的最长距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过椭圆的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”，求椭圆的“左特征点”M的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆离心率为，其上的点到左焦点F的最长距离为，可建立方程组，即可求得椭圆的方程；
（2）设M（m，0）为椭圆的左特征点，根据椭圆左焦点，设直线AB方程代入椭圆方程，由∠AMB被x轴平分，k_AM+k_BM=0，利用韦达定理，即可求得结论．
解答：解：（1）由题意知，∴a=2，c=，∴
∴椭圆的方程为；
（2）设M（m，0）为椭圆的左特征点，椭圆的左焦点F（-，0），
可设直线AB的方程为x=ky-（k≠0）
代入，得：（ky-）y²+4y2=4，即（k²+4）y²-ky-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）得y₁+y₂=，y₁y₂=-
∵∠AMB被x轴平分，k_AM+k_BM=0，即，
即y₁（ky₂-）+y₂（ky₁-）-（y₁+y₂）m=0
所以，2ky₁y₂-（y₁+y₂）（m+）=0
于是，2k×（）-×（m+）=0
∵k≠0，∴1+（m+）=0，即m=，∴M（，0）
点评：本题以新定义为载体主要考查了椭圆性质的应用，直线与椭圆相交关系的处理，要注意解题中直线AB得方程设为x=ky-2（k≠0）的好处在于避免讨论直线的斜率是否存在．