Question

如图，已知正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，高为，P为棱SC的中点．

（1）求直线AP与平面SBC所成角的正弦值；

（2）求两面角B﹣SC﹣D大小的余弦值；

（3）在正方形ABCD内是否有一点Q，使得PQ⊥平面SDC？若存在，求PQ的长；若不存在，请说明理由．

　

Answer 1

解：（1）设正方形ABCD的中心为O，如图建立空间直角坐标系，

则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），

D（﹣1，﹣1，0），S（0，0，），

∵P是SC的中点，∴P（﹣，，）．…（2分）

，设平面SBC的法向量=（x₁，y₁，z₁），

则，即，取=（0，，1），

∴cos＜＞==，…（4分）

故直线AP与平面SBC所成角的正弦值为．…（6分）

（2）设平面SDC的法向量=（x₂，y₂，z₂），则

，即，取=（﹣，0，1），

∴cos＜，＞==，…（9分）

又二面角B﹣SC﹣D为钝角二面角，

故二面角B﹣SC﹣D大小的余弦值为﹣．…（11分）

（3）设Q（x，y，0），则，…（12分）

若PQ⊥平面SDC，则∥，

∴，解得，…（15分）

但＞1，点Q不在正方形ABCD内，故不存在满足条件的点Q．…（16分）