Question

已知等比数列{a_n}的公比q=3，前3项和S₃=

13

3

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=

π

6

处取得最大值，且最大值为a₃，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据等比数列的前n项和的公式及q=3化简S₃=

13

3

，得到关于首项的方程，求出方程的解得到首项的值，然后根据首项和公比即可写出数列的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的通项公式求出a₃的值，即可得到A的值，然后把x=

π

6

代入正弦函数中得到函数值等于1，根据φ的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出φ的值，把φ的值代入即可确定出f（x）的解析式．

解答：解：（Ⅰ）由q=3，S₃=

13

3

得：

a1(1-33)

1-3

=

13

3

，解得a₁=

1

3

，
所以a_n=

1

3

×3^n-1=3^n-2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a_n=3^n-2，所以a₃=3，
因为函数f（x）的最大值为3，所以A=3；
又因为当x=

π

6

时，f（x）取得最大值，所以sin（2×

π

6

+φ）=1，
由0＜φ＜π，得到φ=

π

6

．
则函数f（x）的解析式为f（x）=3sin（2x+

π

6

）．

点评：此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和的公式及通项公式化简求值，掌握正弦函数的图象与性质以及会利用待定系数法求函数的解析式，是一道中档题．