Question

（2012•南宁模拟）已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为

3

3

．

Answer 1

分析：根据异面直线所成角的定义可得分别取SC，DC，AD边的中点F，G，H易得EF

∥ .

.

HA故四边形AEFH为平行四边形所以AE∥DF，又根据中点的性质可得FG∥SD从而将异面直线转化为了相交直线即∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角然后再利用余弦定理求∠HFG得余弦值即可．

解答：
解：由于正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等故不妨设棱长为a
取SC的中点F连接EF则EF∥

1

2

BC，取AD的中点H连接HF则可得EF

∥ .

.

HA故四边形AEFH为平行四边形所以AE∥HF
再取DC中点G连接HG则FG∥SD所以∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角
∵HF=AE=

3

2

a，FG=

1

2

a，HG=

DH2+DG2

=

2

2

a
∴cos∠HFG=

HF2+FG2- HG2

2HF×FG

=

3

3

＞0
即AE、SD所成的角的余弦值为

3

3

点评：本题主要考查了异面直线所成的角．解题的关键是要紧紧抓住利用平行的传递性（通常利用平行四边形的性质或中位线定理）将异面直线转化为相交直线然后在三角形中利用余弦定理求解（要注意的是利用于余弦值的正负判断是这个角还是这个角的补角）！