Question

已知函数f（x）=log₄（2x+3-x²），
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）的单调区间并指出其单调性；
（3）求f（x）的最大值，并求取得最大值时的x的值．

Answer 1

解：（1）∵2x+3-x²＞0．
∴-1＜x＜3．
∴函数f（x）的定义域为（-1，3）．
（2）令t=2x+3-x²，则函数t在（-1，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减．
∵y=log₄t在（0，+∞）单调递增．
∴函数f（x）在（-1，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减．
（3）由（2）的单调性可知，当x=1时，函数f（x）有最大值1，此时x=1．
分析：（1）由题意可得2x+3-x²＞0，解不等式可求函数f（x）的定义域
（2），要求函数的单调性及单调区间，根据复合函数单调性，只要求解t=22x+3-x²在定义域内的单调区间即可
（3）要求函数f（x）的最大，只要求t=2x+3-x²最大值即可
点评：本题主要考查了对数函数与二次函数复合而成的复合函数的定义域、单调性及函数的最值的求解，解题中要注意此类问题容易漏掉对函数定义域的考虑．