Question

设函数f（x）=2x-cosx，{a_n}是公差为的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π，则=    ．

Answer 1

【答案】分析：由f（x）=2x-cosx，又{a_n}是公差为的等差数列，可求得f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=10a₃，由题意可求得a₃，从而进行求解．
解答：解：∵f（x）=2x-cosx，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=2（a₁+a₂+…+a₅）-（cosa₁+cosa₂+…+cosa₅），
∵{a_n}是公差为的等差数列，
∴a₁+a₂+…+a₅=5a₃，由和差化积公式可得，
cosa₁+cosa₂+…+cosa₅
=（cosa₁+cosa₅）+（cosa₂+cosa₄）+cosa₃
=[cos（a₃-×2）+cos（a₃+×2）]+[cos（a₃-）+cos（a₃+）]+cosa₃
=2coscos+2coscos+cosa₃
=2cosa₃•+2cosa₃•cos（-）+cosa₃
=cosa₃（1++）
则cosa₁+cosa₂+…+cosa₅的结果不含π，
又∵f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π，
∴cosa₃=0，故a₃=，
∴=π²-（-2•）=π²-=，
故答案为：
点评：本题考查数列与三角函数的综合，求得cosa₃=0，继而求得a₃是关键，也是难点，考查分析，推理与计算能力，属于难题．