题目内容

已知，数列{an}的前n项的和记为Sn．
（1）求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式；
（2）请用数学归纳法证明你的猜想．
【答案】分析：（1）依题意，可求得S1，S2，S3的值，继而可猜想Sn的表达式；
（2）猜想Sn=；用数学归纳法证明，先证明n=1时等式成立，再假设n=k时等式成立，去证明当n=k+1时等式也成立即可．
解答：解：（1）∵an=，
∴S1=a1==，
S2=a1+a2=+=，
S3=S2+a3=+==；
…
∴猜想Sn=；
（2）证明：①当n=1时，S1=，等式成立；
②假设当n=k时，Sk=成立，
则当n=k+1时，Sk+1=Sk+ak+1=+====，
即当n=k+1时等式也成立；
综合①②知，对任意n∈N*，Sn=．
点评：本题考查归纳推理，着重考查数学归纳法，考查推理、证明的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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（2010•济南一模）已知：数列{an}的前n项和为Sn，a1=3且当n≥2n∈N+满足Sn-1是an与-3的等差中项．
（1）求a2，a3，a4；
（2）求数列{an}的通项公式．
已知正数数列{an}的前n项和Sn满足Sn=
1
8
(a n+2)2（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
8
an•an+1
，（n∈N*）且数列{bn}的前n项和为Tn，如果Tn＜m2-m-5对一切n∈N*成立，求正数m的取值范围．
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已知：数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，当n∈N+时，Sn=an-n-1．
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜想an，并用数学归纳法证明你的猜想；
（3）已知
lim
n→∞
an
an+1+(a+1)n
=
1
2
，求a的取值范围．
已知正数列{an}的前n项和为Sn，且有Sn=
1
4
(an+1)2，数列b1，b2-b1，b3-b2，…，bn-bn-1是首项为1，公比为
1
2
的等比数列．
（1）求证数列{an}是等差数列；
（2）若cn=an•（2-bn），求数列{cn}的前n项和Tn；
（3）在（2）条件下，是否存在常数λ，使得数列(
Tn+λ
an+2
)为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由．

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