题目内容

（2012•自贡三模）己知x＞0，y＞0，x+3y=2，则
1
x
+
1
3y
的最小值是（　　）
分析：题目在给出x+3y=2的情况下求
1
x
+
1
3y
的最小值，可以把x+3y=2变形为一个多项式等于1的形式，然后把要求最值的式子乘以1，把1代换，展开后运用基本不等式求最值．
解答：解：由x+3y=2，得
x
2
+
3y
2
=1，
所以
1
x
+
1
3y
=(
1
x
+
1
3y
)(
x
2
+
3y
2
)=
1
2
+
3y
2x
+
x
6y
+
1
2
=1+
3y
2x
+
x
6y
≥1+2
3y
2x
x
6y
=1+1=2，
当且仅当
x+3y=2
3y
2x
=
x
6y
时，即x=3y=1时有最小值2．
故选A．
点评：本题考查了利用基本不等式求最值问题，具体考查了运用基本不等式求最值的方法，积为定值时求和的最小值，和为定值时求积的最大值，特别注意的是“一正、二定、三相等”．
练习册系列答案
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（2012•自贡三模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义f′（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f′（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”，可以发现，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一发现判断下列命题：
①任意三次函数都关于点（-
b
3a
，f（-
b
3a
））对称：
②存在三次函数f′（x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的对称中心；
③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；
④若函数g（x）=
1
3
x3-
1
2
x2-
5
12
，则，g（
1
2012
）+g（
2
2012
）+g（
3
2012
）+…+g（
2011
2012
）=-105.5．
其中正确命题的序号为
①②④
①②④
（把所有正确命题的序号都填上）．
（2012•自贡三模）已知G是△ABC的重心，且a
GA
+b
GB
+
3
c
GC
=
0
，其中a，b，c分别为角A、B、C的对边，则cosc=（　　）
（2012•自贡三模）在三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为
2
2
，
3
2
，
6
2
，则三棱锥A-BCD的外接球的体积为
6
π
6
π
．
（2012•自贡三模）已知圆C：（x-a）2+（y-2）2=4（a＞0）及直线l：x-y+3=0，当直线l被C截得弦长为2
3
时，则a=
2
-1
2
-1
．
（2012•自贡三模）若(x2+
1
ax
)6的展开式中的常数项为
15
16
，则实数a
±2
±2
．

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