Question

14．已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中的棱BC和C₁D₁的中点，求：
（1）线段EF的长；
（2）线段EF与平面A₁B₁C₁D₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）过F作FG⊥平面ABCD，垂足为G，连结GE，BD，分别求出EG和FG的长，利用勾股定理能求出EF的长．
（2）由FG⊥底面ABCD，平面A₁B₁C₁D₁∥平面ABCD，得∠FEG与线段EF与平面A₁B₁C₁D₁所成角相等，由此能求出线段EF与平面A₁B₁C₁D₁所成角的余弦值的大小．

解答 解：（1）过F作FG⊥平面ABCD，垂足为G，连结GE，BD，
∵E，F分别是棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中的棱BC和C₁D₁的中点，
∴FG⊥EG，FG=a，EG=$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，
∴$EF=\sqrt{E{G}^{2}+F{G}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{2}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}a}{2}$．
（2）∵FG⊥底面ABCD，平面A₁B₁C₁D₁∥平面ABCD，
∴∠FEG与线段EF与平面A₁B₁C₁D₁所成角相等，
∵$cos∠FEG=\frac{EG}{EF}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}a}{2}}{\frac{\sqrt{6}a}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴线段EF与平面A₁B₁C₁D₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线段长的求法，考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．