Question

已知函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，当x∈（-3，2）时，其值为正，而当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，其值为负，求a，b的值及f（x）的表达式．

Answer 1

分析：根据题意，由x∈（-3，2）时，其值为正，而当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，其值为负，我们易得-3，2为函数f（x）的两个零点，且数f（x）为二次函数（a＜0），由此构造关于a，b的方程，解方程后，将所得结果代入检验，易得结论．

解答：解：依题意知

f(-3)=8a-3b-ab+24=0① f(2)=3a+2b-ab-16=0②

①-②得：5a-5b+40=0，
即a=b-8③，
把③代入②，得
b²-13b+40=0，
解得b=8或b=5，
分别代入③，
得a=0，b=8或a=-3，b=5．
检验知a=0，b=8不适合题设要求，
a=-3，b=5适合题设要求，
故f（x）=-3x²-3x+18．

点评：本题考查的知识点是待定系数法求函数解析式，函数的零点，二次函数的性质等，由已知判断-3，2为函数f（x）的两个零点，并由些构造参数的方程是解答本题的关键．