题目内容
已知
=
(x∈R)在区间［-1,1］上是增函数.(1)求实数a的值所组成的集合A;
(2)设关于x的方程
=
的两根为x1、x2,试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈［-1,1］恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
解析:(1) =,?
∵在［-1,1］上是增函数,?
∴
≥0对x∈［-1,1］恒成立,?
即x2-ax-2≤0对x∈［-1,1］恒成立.①?
设φ(x)=x2-ax-2.?
方法一:①
-1≤a≤1.?
∵对x∈［-1,1］, 
是连续函数,且只有当a=1时,f′(-1)=0以及当a=-1时,f′(1)=0,
∴A={a|-1≤a≤1}.?
方法二:①
0≤a≤1或-1≤a≤0?
? 
-1≤a≤1.?
∵对x∈［-1,1］, 
是连续函数,且只有当a=1时,f′(-1)=0以及当a=-1时,f′(1)=0.
∴A={a|-1≤a≤1}.?
(2)由
,得x2-ax-2=0.?
∵Δ=a2+8>0,∴x1、x2是方程x2-ax-2=0的两实根.
∴
?
从而|x1-x2|=
.?
∵-1≤a≤1,?
∴|x1-x2|=
≤3.?
要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈［-1,1］恒成立,?
当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈［-1,1］恒成立,?
即m2+tm-2≥0对任意t∈［-1,1］恒成立,②?
设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2).?
方法一:②
m≥2或m≤-2,?
∴存在实数m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈［-1,1］恒成立,其取值范围是?{m|m≥2或m≤-2}.?
方法二:当m=0时,②显然不成立;?
当m≠0时,②
m≥2或m≤-2.
∴存在实数m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈［-1,1］恒成立,其取值范围是{m|m≥2或m≤-2}.
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