Question

（本小题满分12分）[来源:Zxxk.Com]

已知、分别是直线和上的两个动点，线段的长为

，是的中点．

   （1）求动点的轨迹的方程；

   （2）过点作直线（与轴不垂直）与轨迹交于两点，与轴交于点．若，，证明：为定值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）设，，．

∵是线段的中点，∴                          ………2分

∵分别是直线和上的点，

∴和．

∴                               …………4分

又，∴．                 …………5分

∴，∴动点的轨迹的方程为．     …………6分

（2）依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为．

设、、，

则两点坐标满足方程组[来源:Zxxk.Com]

消去并整理，得，        

∴， ①    ．   ②            ………8分

∵，∴．

即∴．∵与轴不垂直，∴，

∴，同理．                          ………10分

∴．

将①②代入上式可得．                 …………12分

【解析】略