Question

如图，在棱长为2的正方体的中点，P为BB₁的中点.

（I）求证：；

（II）求证；

（III）求异面直线所成角的大小.

   

Answer 1

解法一：（I）连结BC₁

由正方体的性质得BC₁是BD₁在平面BCC₁B₁内的射影，，

所以

 (Ⅱ) 连接BD，AC

由正方体的性质得BD是BD₁在平面ABCD内的摄影，  且AC⊥BD                       

∴BD₁⊥AC

∵M为BC的中点，N为AB的中点，

∴MN//AC       则BD₁⊥MN.  

同理可得BD₁⊥PM又，

 

（III）延长

 

由于正方体的棱长为2，

即异面直线所成角的大小为arccos.                

解法二：（I）如图建立空间直角坐标系.

则B（2，2，0），C（0，2，0）

B₁（2，2，2），D­₁（0，0，2）.

  

 

（II），

.

（III），

                          

即异面直线所成角的大小为arccso