Question

设各项均为正数的数列{a_n}满足

（Ⅰ）若，求a₃，a₄，并猜想a_2co8的值（不需证明）；

（Ⅱ）记恒成立，求a₂的值及数列{b_n}的通项公式.

Answer 1

解：(Ⅰ)因

    

     由此有，

故猜想的通项为      

从而

    （Ⅱ）令

     由题设知x₁=1且

                      ①

                                  ②

      因②式对n=2成立，有

                                                         ③

      下用反证法证明：

      由①得

      因此数列是首项为，公比为的等比数列.故

                                ④

      又由①知 

      因此是是首项为，公比为-2的等比数列,所以

                                ⑤

      由④-⑤得

                                       ⑥

      对n求和得

⑦

          由题设知

            

             从而

       即不等式          2^2k+1＜

对kN^*恒成立.但这是不可能的，矛盾.

因此x₂≤,结合③式知x₂=,因此a₂==

将x₂=代入⑦式得   S_n=2－(nN*),

所以b_n=2^S_n=2^2－(nN*)。