Question

已知等比数列{a_n}各项均为正数，且a₁+a₂=20，a₃=64，设bn=

1

2

log2an．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）记Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn-1

，求T_n．

Answer 1

分析：（1）因为数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，且a₁+a₂=20，a₃=64，可把a₁，a₂，a₃均用a₁和q表示，求出a₁和q，再代入等比数列的通项公式即可．
（2）根据b_n=

1

2

log₂a_n和（Ⅰ）中所求数列{a_n}的通项公式，可求出数列{b_n}的通项公式，代入利用裂项求和即可求出

解答：解：：（Ⅰ）因为数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，且a₁+a₂=20，a₃=64，
所以

a1(1+q)=20 a1q2=64

解得a₁=4，q=4
∴a_n=4ⁿ，bn=

1

2

log2an=n
（2）∵Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn-1

=

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

n(n-1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

=

n-1

n

点评：本题考查了等比数列通项公式的求法，以及等差数列的前n项和公式的应用，及裂项求和方法的应用，属必须掌握的内容．