Question

【题目】如图3，是一个直角梯形，，为边上一点，、相交于，，，．将△沿折起，使平面⊥平面，连接、，得到如图4所示的四棱锥．

（Ⅰ）求证：⊥平面；

（Ⅱ）求直线与面所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】【试题分析】(I)在中,求得,由此证得,,根据面面垂直的性质定理得到平面,即,由此可证得平面.(2) O为原点，OA、OD、OB所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系通过计算直线的方向向量和平面的法向量计算得线面角的正弦值,再利用三角函数公式转化为余弦值.

【试题解析】

（Ⅰ）在中，，，所以

同理，从而，

又因为，所以是平行四边形，

因为平面平面，平面平面=AE，，

所以平面

又平面，所以

，

所以

（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）可知，直线OA、OB、OD两两互相垂直，因此，以O为原点，OA、OD、OB所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系(如图所示)

则，，，

设平面的一个法向量为，则

解得，，取

所以直线与面所成角的余弦值为．

（方法二）由（Ⅰ）可知，四边形的面积

连接，则△的面积，

三棱锥的体积

△的面积

设到平面的距离为，则，

直线与面所成角的正弦值为，余弦值为