Question

（2013•哈尔滨一模）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为

x=-2-t y=2- 3 t

（t 为参数），直线l与曲线C：（y-2）²-x²=1交于A，B两点
（1）求|AB|的长；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为(2

2

，

3π

4

)，求点P到线段AB中点M的距离．

Answer 1

分析：（1）化直线的参数方程为普通方程，和曲线方程联立后利用根与系数的关系写出两个交点的横坐标的和与积，利用弦长公式求|AB|的长；
（2）结合（1）由中点坐标公式求出M的坐标，化P的极坐标为直角坐标，然后直接利用两点间的距离公式求解．

解答：解：（1）由

x=-2-t y=2- 3 t

，得y=

3

x+2+2

3

，
代入（y-2）²-x²=1，得2x²+12x+11=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x1+x2=-6，x1x2=

11

2

．
所以|AB|=

1+( 3 )2

|x1-x2|
=2

(x1+x2)2-4x1x2

=2

(-6)2-4× 11 2

=2

14

；
（2）设AB中点M（x₀，y₀），由（1）知，
x0=

x1+x2

2

=

-6

2

=-3，
y0=

y1+y2

2

=

3 (x1+x2)+4+4 3

2

=

-6 3 +4+4 3

2

=2-

3

．
所以 M（-3，2-

3

）．
因为点P的极坐标为(2

2

，

3π

4

)，
所以P的直角坐标为（2

2

cos

3π

4

，2

2

sin

3π

4

）=（-2，2）．
所以点P到线段AB中点M的距离为

(-3+2)2+(- 3 )2

=2．

点评：本题考查了参数方程化为普通方程，考查了极坐标化为直角坐标，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了根与系数的关系，考查了弦长公式的运用，是中档题．