Question

（2013•嘉兴二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足

a+c

b

=

sinA-sinB

sinA-sinC

．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求

a+b

c

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，再利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（Ⅱ）所求式子利用正弦定理变形，将sinC的值代入，整理为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的定义域与值域求出范围即可．

解答：解：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式得：

a+c

b

=

a-b

a-c

，
化简得a²+b²-ab=c²，即a²+b²-c²=ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∵C为三角形的内角，
∴C=

π

3

；
（Ⅱ）

a+b

c

=

sinA+sinB

sinC

=

2

3

[sinA+sin（

2π

3

-A）]=2sin（A+

π

6

），
∵A∈（0，

2π

3

），∴A+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴sin（A+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
则

a+b

c

的取值范围是（1，2]．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键．