Question

已知圆C：x²+y²-6x-8y=0，若过圆内一点（3，5）的最长弦为AC，最短弦为BD；则四边形ABCD的面积为（　　）

• A．20

  6

• B．15

  6

• C．10

  6

• D．

  6

Answer 1

分析：将圆C方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，过点（3，5）最长的弦即为过此点的直径，最短的弦即为与此直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理求出|BD|的长，利用对角线垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积．

解答：解：将圆C方程化为标准方程得：（x-3）²+（y-4）²=25，
∴圆心C（3，4），半径r=5，
∴过圆内一点（3，5）的最长弦为|AC|=10，且直线AC的斜率不存在，
∴直线BD的斜率为0，即直线BD解析式为y=5，
∴圆心C到直线BD的距离d=1，
∴最短弦为|BD|=2

52-12

=4

6

，
则四边形ABCD的面积S=

1

2

|AC|•|BD|=20

6

．
故选A

点评：此题考查了直线与圆的相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，以及四边形的面积，找出最长的弦与最短的弦长是解本题的关键．