Question

在△ABC中，AB=2，AC边的中线BD=2，cosB=

1

4

．
（1）求AC；
（2）求sinA．

Answer 1

分析：（1）设BC的中点为E，满足BE=x，在△BDE中利用余弦定理列式，解出x=

3

2

得BC=3，再在△ABC中利用余弦定理即可解出AC的长；
（2）△ABC中利用余弦定理算出cosA的值，再利用同角三角函数的关系即可算出sinA的值．

解答：解：（1）设BC的中点为E，则DE=1，设BE=x．
在△BDE中，BD²=BE²+DE²-2BE•DE•cos∠BED
∴4=x²+1-2x•（-

1

4

），化简得2x²+x-6=0
解之得x=

3

2

（舍负），故BC=3…（4分）
在△ABC中，AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB
∴AC²=4+9-2×2×3×

1

4

=10，可得AC=

10

…（8分）
（2）∵在△ABC中，cosA=

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

∴cosA=

4+10-9

2×2× 10

=

10

8

…（10分）
故sinA=

1-cosA2

=

3 6

8

…（12分）

点评：本题给出△ABCr中线AD满足的条件，求AC边长并求A的正弦值．着重考查了同角三角函数的关系、正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．