Question

（1）f（x）为一次函数，且f[f（x）]=2x-1，求函数f（x）的解析式．
（2）若函f（x）=lg（ax²-2x+1）的定义域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）运用待定系数法，设一次函数为f（x）=ax+b，代入已知后通过比较系数列方程求出a、b即可
（2）若函数f（x）=lg（ax²-2x+1）的定义域为R，则ax²-2x+1＞0恒成立，根据二次不等式恒成立的条件易得a的范围

解答：解：（1）解：（1）设f（x）=ax+b，则f（f（x））=a（ax+b）+b=a²x+ab+b
∵f[f（x）]=2x-1，∴a²x+ab+b=2x-1
∴a²=2且ab+b=-1，解得a=

2

，b=1-

2

或a=-

2

，b=1+

2

∴f（x）=

2

x+1-

2

或（x）=-

2

x+1+

2

（2）∵函数f（x）=lg（ax²-2x+1）的定义域为R，
∴ax²-2x+1＞0恒成立
当a=0时，显然不成立
当a≠0时，

a＞0 △=4-4a＜0

解得a＞1
综上所述a的取值范围（1，+∞）

点评：本题考查的知识点是函数解析式的方法--待定系数法，及恒成立问题，难度不大，属于基础题