Question

【题目】已知等轴双曲线：的右焦点为，为坐标原点，过作一条渐近线的垂线且垂足为，.

（1）假设过点且方向向量为的直线交双曲线于、两点，求的值；

（2）假设过点的动直线与双曲线交于、两点，试问：在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）根据双曲线为等轴双曲线，可求出渐近线方程，再根据点为过作一条渐近线的垂线的垂足，以及，可求出双曲线中的值，借助双曲线中，，的关系，得到双曲线方程．根据直线的方向向量以及点的坐标，可得直线的方程，与双曲线方程联立，解出，的值，代入中，即可求出的值．

（2）先假设存在定点，使得为常数，设出直线的方程，与双曲线方程联立，解，，用含的式子表示，再代入中，若为常数，则结果与无关，求此时的值即可．

（1）设右焦点坐标为，，

双曲线为等轴双曲线，则渐近线为，

由对称性可知，右焦点到两条渐近线距离相等，且．

为等腰直角三角形，则由

又等轴双曲线中，

等轴双曲线的方程为：.

设，，，为双曲线与直线的两个交点，

，直线的方向向量为，

直线的方程为，即

代入双曲线的方程，可得，

，，

而

（2）假设存在定点，使得为常数，

其中，，，，为双曲线与直线的两个交点的坐标，

①当直线与轴不垂直是，设直线的方程为，

代入双曲线的方程，可得，

由题意可知，，则有，，

要使是与无关的常数，当且仅当，此时，.

②当直线与轴垂直时，可得点，，

若，亦为常数.

综上可知，在轴上是否存在定点，使得为常数．