Question

【题目】已知动直线与椭圆交于、两个不同点，且的面积，其中为坐标原点．

（1）证明和均为定值；

（2）设线段的中点为，求的最大值；

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，可得出，，根据的面积求得、的值，可得出和的值；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可求得和的值，进而得出结论；

（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，可直接求得的值；在直线的斜率存在时，求得、关于的表达式，利用基本不等式可求得的最大值，进而可得出结论.

（1）当直线的斜率不存在时，、两点关于轴对称，所以，，

在椭圆上，①，又，②

由①②得，．此时，；

当直线的斜率存在时，是直线的方程为，

将直线的方程代入得，

，即，

由韦达定理得，，

，

点O到直线的距离为，

，

又，整理得，

此时，

，

综上所述，，结论成立；

（2）当直线的斜率不存在时，由（1）知，，因此；

当直线的斜率存在时，由（1）知，，

，

，

所以，．

当且仅当，即时，等号成立．

综上所述，的最大值为.