Question

设数列{a_n}的前n项的和为S_n，已知

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

n

n+1

(n∈N*)．
（1）求S₁，S₂及S_n；
（2）设bn=(

1

2

)an，若对一切n∈N^*，均有

n

k=1

bk∈(

1

m

，m2-6m+

16

3

)，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）n=1时，S₁=2，n=2时，S₂=6，由

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

n

n+1

，知

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn-1

=

n-1

n

，由此能求出S_n．
（2）由S_n=n（n+1），知a_n=S_n-S_n-1=2n，a₁=2，a_n=2n，n∈N⁺，所以bn=(

1

4

)n．由

bn+1

bn

=

1

4

，知数列{b_n}是等比数列，由  b₁+b₂+…+b_n=

1 4 (1- 1 4n )

1- 1 4

=

1

3

(1-

1

4n

)和

1

3

(1-

1

4n

)随n的增大而增大，知

1

4

≤ b₁+b₂+…+b_n＜

1

3

，由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）依题意，n=1时，S₁=2，n=2时，S₂=6，
∵

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

n

n+1

，①
n≥2时，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn-1

=

n-1

n

，
∴S_n=n（n+1）（n∈N⁺），
（2）由（1）知S_n=n（n+1），
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n，
∵a₁=2，∴a_n=2n，n∈N⁺，
∴bn=(

1

4

)n．
∵

bn+1

bn

=

1

4

，∴数列{b_n}是等比数列，
则  b₁+b₂+…+b_n=

1 4 (1- 1 4n )

1- 1 4

=

1

3

(1-

1

4n

)．
∵

1

3

(1-

1

4n

)随n的增大而增大，
∴

1

4

≤ b₁+b₂+…+b_n＜

1

3

，
依条件，得

1 m ＜ 1 4 m2-6m+ 16 3 ≥ 1 3

，
即

m＜0，或m＞4 m≤1，或m≥5

，∴m＜0或m≥5．

点评：本题考查数列前n项和的求法和数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．