Question

已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0.

Answer 1

证明略

解析:

证明（必要性）

∵a+b=1，∴a+b-1=0，                                                2分

∴a³+b³+ab-a²-b²=（a+b）（a²-ab+b²）-（a²-ab+b²）                       5分

=（a+b-1）（a²-ab+b²）=0.                                           7分

（充分性）

∵a³+b³+ab-a²-b²=0，

即（a+b-1）（a²-ab+b²）=0，                                           9分

又ab≠0,∴a≠0且b≠0,

∴a²-ab+b²=（a-b²＞0,

∴a+b-1=0,即a+b=1,                                                 12分

综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是

a³+b³+ab-a²-b²=0.                                             14分