Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2sin²

B+C

2

-

1

2

cos 2A=

7

4

．
（1）求角A的度数；
（2）若a=

3

，b+c=3（b＞c），求b和c的值．

Answer 1

分析：（1）由条件及A+B+C=180°，利用二倍角公式化简可得4cos²A-4cos A+1=0，求得cos A的值，可得A的值．
（2）由余弦定理，得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，可得（b+c）²-a²=3bc．将a=

3

，b+c=3，代入上式得bc=2，再结合b＞c，求得b、c的值．

解答：解：（1）由2sin²

B+C

2

-

1

2

cos 2A=

7

4

 及A+B+C=180°，
可得2[1-cos（B+C）]-2cos²A+1=

7

2

，即 4（1+cos A）-4cos²A=5．
∴4cos²A-4cos A+1=0．∴cos A=

1

2

．
∵0°＜A＜180°，∴A=60°．
（2）由余弦定理，得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，∴

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，∴（b+c）²-a²=3bc．
将a=

3

，b+c=3代入上式得bc=2．
再由

b+c=3 bc=2

及b＞c，求得

b=2 c=1

．

点评：本题主要考查二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．